ANALISI MATEMATICA

Obiettivi formativi:

Questo insegnamento ha lo scopo di illustrare i concetti fondamentali e le tecniche di calcolo differenziale e integrale relativi a funzioni reali di una e due variabili reali.

Settore scientifico-disciplinare:

MAT/05.

Crediti:

12.

Modulo:

Unico.

Durata:

Annuale, 104 ore (88 di lezione frontale + 16 di esercitazione guidata).

Frequenza:

Non sono previsti obblighi di frequenza.

Docente:

Prof. Renzo Lupini.

Programma:

01. Generalità su insiemi, relazioni e strutture:
      01.01 Algebra degli insiemi.
      01.02 Relazioni d'ordine e di equivalenza. Partizioni.
      01.03 Funzioni: dominio e codominio, iniettività e biunivocità.
      01.04 Strutture algebriche: operazioni binarie e loro proprietà.
      01.05 Sistema algebrico dei naturali, degli interi e dei razionali.

02. Retta razionale e piano razionale:
      02.01 Punti, traslazioni e vettori del piano cartesiano.
      02.02 Algebra vettoriale del piano.
      02.03 Rappresentazione cartesiana di rette, semirette e segmenti.

03. Funzioni razionali di una variabile:
      03.01 Grafico di una funzione.
      03.02 Proprietà analitiche di una funzione e proprietà del grafico.
      03.03 Restrizioni di funzioni: successioni. Principio d'induzione.
      03.04 Algebra delle funzioni e composizione di funzioni.
      03.05 Grafico di funzioni lineari.
      03.06 Grafico di funzioni quadratiche.
      03.07 Equazione x²=y e problema della funzione inversa.
      03.08 Equazione di punto fisso e algoritmo di Newton per l'approssimazione di 2^1/2.
      03.09 Successioni monotone, limitate di razionali e numeri irrazionali.
      03.10 Sistema algebrico dei numeri reali.
      03.11 Retta reale e piano reale.
      03.12 Convergenza di successioni di numeri reali. Completezza.
      03.13 Serie di numeri reali: somme e criteri di convergenza.
      03.14 Rappresentazione in serie, decimale e binaria, dei reali.

04. Funzioni reali di una variabile:
      04.01 Funzioni potenza x^a e funzioni esponenziale a^x.
      04.02 Numero di Nepero e funzioni e^x e ln(x).
      04.03 Definizione geometrica delle funzioni circolari sin(x) e cos(x).
      04.04 Rappresentazione delle trascendenti elementari in serie di potenze.
      04.05 Algebra delle funzioni. Composizioni.
      04.06 Funzioni definite a tratti.
      04.07 Vettori del piano e numeri complessi. Algebra e forma polare.

05. Calcolo dei limiti e calcolo differenziale:
      05.01 Funzioni infinitesime.
      05.02 Approssimazione locale: limite in un punto, continuità e differenziabilità.
      05.03 Formula di Taylor al primo ordine. Retta tangente al grafico.
      05.04 Funzione derivata. Derivate di funzioni razionali e di trascendenti elementari.
      05.05 Punti singolari. Discontinuità e punti angolosi del grafico.
      05.06 Teorema di Rolle e teorema di Lagrange sugli accrescimenti finiti.
      05.07 Teorema di Weierstrass sul massimo e ottimizzazione in un intervallo.
      05.08 Derivata seconda e formula di Taylor al secondo ordine.
      05.09 Classificazione dei punti stazionari regolari.

06. Integrazione definita e indefinita:
      06.01 Il problema dell'area e il problema dell'inversione della derivazione.
      06.02 Somme di Riemann e integrale definito.
      06.03 Primitive e teorema di Leibniz-Newton. Teorema di Lagrange sul valor medio.
      06.04 Proprietà dell'integrazione definita e indefinita.
      06.05 Equazioni differenziali lineari del primo e secondo ordine.

07. Regioni del piano:
      07.01 Cinematica e curve regolari del piano.
      07.02 Curve semplici chiuse e aperte, e regioni del piano.
      07.03 Punti interni, esterni e frontiera.
      07.04 Poligoni e poligoni curvilinei: segmenti ellittici, parabolici e iperbolici.

08. Campi scalari e funzioni di due variabili:
      08.01 Campi scalari e campi vettoriali piani. Algebra dei campi piani.
      08.02 Isolinee e topografia di un campo scalare piano.
      08.03 Campi infinitesimi e approssimazione locale: continuità e differenziabilità.
      08.04 Formula di Taylor al primo ordine e gradiente: analisi locale in punti non stazionari.
      08.05 Derivate direzionali e parziali: calcolo differenziale in due variabili.
      08.06 Differenziabilità di campi vettoriali e differenziabilità seconda.
      08.07 Matrice Hessiana e formula di Taylor al secondo ordine.
      08.08 Analisi locale in punti stazionari regolari: punti ellittici e iperbolici.

09. Ottimizzazione:
      09.01 Ottimizzazione con vincolo su una curva.
      09.02 Ottimizzazione su una regione.
      09.03 Ottimizzazione di funzioni quadratiche sul piano.
      09.04 Ottimizzazione di rapporti di funzioni quadratiche omogenee.
      09.05 Retta ai minimi quadrati per un sistema finito di punti.

10. Spazio tridimensionale:
      10.01 Algebra e geometria dei punti e dei vettori dello spazio.
      10.02 Equazioni di rette e piani dello spazio.
      10.03 Grafico di una funzione di due variabili. Curve coordinate e curve di livello.
      10.04 Superfici semplici chiuse e aperte, e regioni dello spazio.
      10.05 Regioni proiettabili: cilindri e parallelepipedi curvilinei.

11. Integrali doppi:
      11.01 Approssimazione di volumi di regioni tridimensionali proiettabili e somme di Riemann per funzioni di due variabili.
      11.02 Volumi e integrali doppi.
      11.03 Teorema di Fubini sugli integrali iterati semplici.
      11.04 Proprietà degli integrali doppi.
      11.05 Integrazione in coordinate polari.

12. Variabile complessa:
      12.01 Algebra complessa e piano complesso. Teorema fondamentale dell'Algebra.
      12.02 Formula di Eulero ed esponenziale complesso.

13. Integrali impropri:
      13.01 Integrali impropri in una variabile e aree di regioni piane non limitate.
      13.02 Integrali doppi impropri e volumi di regioni dello spazio non limitate.

Testi di riferimento:

Lupini, "Matematica" parte 1 e parte 2, Quattroventi, 2005.

Bramanti, Pagani, Salsa, "Matematica", Zanichelli, 2000.

Propedeuticità:

Matematica Discreta.

Modalità didattiche:

Lezioni frontali ed esercitazioni (materiale didattico).

Modalità di accertamento:

Prova scritta e prova orale.

Commissione d'esame:

Fino all'a.a. 2011/2012: Prof. Renzo Lupini e Dott. Claudio Lazzari (supplente: Dott. Devis Abriani).
Dall'a.a. 2012/2013: Prof. Renzo Lupini e Dott. Devis Abriani (supplente: Prof. Marco Bernardo).

Note:

La prova scritta viene valutata in trentesimi ed è ritenuta sufficiente se il relativo voto, che rimane valido per tutti gli appelli successivi del corrente a.a., è di almeno 18/30.
La prova orale può essere sostenuta solo previo superamento della prova scritta. Se sufficiente, il relativo esito comporta un aggiustamento per eccesso o per difetto di al più 12/30 del voto della prova scritta, determinando così il voto finale.

Ultima modifica: 20/11/2012

Approvato da: Presidente CCdL